2009/06/30


Encontrando juros de parcelas iguais usando o Wolfram|alpha

Mais ou menos desde o Plano Real, se não me engano, foi que se tornou bastante comum no Brasil comprar coisas a prazo com parcelas iguais. O inferno desta prática é que os comerciantes tem mania de omitir o valor da taxa de juros cobrada. Eles anunciam apenas o valor da parcela, número de parcelas e, quando muito, o valor à vista.

Às vezes ainda falam que a parcela é um tanto e que à vista ainda tem um "desconto", o que é um papo furado danado porque na prática é o mesmo: um certo valor à vista, ou um certo valor a prazo que implica em uma determinada taxa de juros. Hoje em dia ainda tenho visto até gente anunciando coisas falando só o valor da parcela, não dizem nem quantas são! É bem verdade que são variáveis ligadas a dois planejamentos diferentes: um é de mais curto prazo: se você "dá conta" de pagar cada mês. O outro é de longo prazo: se vai ser estratégico ficar tantos meses com aquele dinheiro comprometido... Mas é sacanagem mesmo assim anunciar focando só no curto prazo.

Bom, se você vai comprar algo a prazo é muitas vezes bom saber o valor da taxa de juros ofertada, porque pode ser que valha a pena você comprar algo pegando um dinheiro emprestado de outro lugar, por exemplo, ou escolhendo outro vendedor. Você pode até mesmo simplesmente desistir de uma compra só porque a taxa de juros seria obscena!...

Acontece que, como já disse, é raro um anunciante dizer o valor da taxa de juros quando está anunciando o valor de parcelas iguais. Como fazer então pra descobrir o valor?

Infelizmente não é nada fácil. Mas qualquer engenheiro empolgado pode ajudar você, se precisar! Vou discutir aqui algumas simplificações possíveis de serem feitas, e no final mostrar como você pode calcular rigorosamente utilizando o maravilhoso Wolfram Alpha!

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No limite de valores de juros relativamente elevados, e para um número grande de parcelas (como é o cenário vergonhoso do meu cartão de crédito, por exemplo) a gente pode fazer uma aproximação. O valor da taxa de juros é aproximadamente o valor de uma parcela dividido pelo montante (o valor à vista) subtraído do valor da parcela.

Notem como esta conta é parecida com uma outra: se o valor da taxa de juros fosse apenas o valor da parcela dividido pelo montante, isto significaria que você está pagando a cada mês apenas o valor dos juros do período, sem jamais caminhar na direção de quitar a dívida. Seriam infinitas parcelas.

Se você usar essa simplificação em outros casos (poucas parcelas, juros razoáveis...) pode terminar com um valor superestimado da taxa de juros. E quando a taxa é bem pequena existe outra aproximação que dá pra fazer, mas agora não estou podendo deduzir... Fica como exercício para o leitor. O que importa é o macete pra calcular o valor perfeito no Wolfram Alpha!

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A solução ideal é uma conta meio complicada. Dá um polinômio sobre o valor dos juros de uma ordem tão grande quanto o número de parcelas. Pra deduzir você precisa utilizar a famosa conta da "soma de uma PG", uma amiga que sempre nos alegra rever...

Apesar da elevada ordem, esse polinômio possui apenas poucos termos, o que torna fácil de calcular, por exemplo, utilizando réguas de cálculo. Taí então um bom exemplo do tipo de conta que se realiza em matemática financeira que tornava tão comum o uso de tabelas de logaritmos e de réguas de cálculo nas antigas.

Hoje é possível pegar esse valores e jogar num computador pra fazer a conta sem se preocupar com nenhum detalhe dos processos. Em poucos segundos você recupera até mesmo as raízes imaginárias do polinômio, usando algum algoritmo sinistro de encontrar raízes, e ainda pode rodar tudo via Internet nas máquinas do Stephen Wolfram, utilizando o incrível Wolfram|alpha.

Sem mais delongas então, o que você precisa é entrar neste link. Ele possui uma conta de exemplo que eu realizei aqui pra descobrir os juros cobrados pelo Mercado Pago pra comprar a prazo um Nokia N800 usado. O número de parcelas é a primeira variável que eu defino, 'n'. O valor à vista é 'M' e o valor de cada parcela é 'p'. Substitua estes parâmetros pro caso que quiser e você vai ter na solução o valor, em porcentagem, da taxa de juros. Pura magia...

Ah, o Wolfram|alpha é tão fodão que ele deve ser até capaz de te dar os valores das outras variáveis também. Por exemplo, você pode dizer quanto é o valor de 'j' e tirar o 'n' da lista, e então descobrir em quantos pagamentos você pode comprar algo pagando um certo tanto ao mês... Isso pode ser bem útil na hora de pedir um empréstimo no banco, onde existe um limite do valor da parcela, e limites de número de parcelas dadas diferentes taxas. Você pode otimizar um empréstimo para pagar uma taxa menor, por exemplo.

O W|a pode ainda fazer gráficos muito loucos, etc. É uma potência esse bicho... Tá aí um excelente exemplo de uma conta que a calculadorazinha do Google não faz, pra quem gosta de comparar os dois sites

Agora, achei no Google foi este site que faz a mesma conta, e ele tem uma interface bonitinha pra quem estiver com preguiça de editar minha string lá...

Por hoje é só. Boas compras! Ou economias, porque você pode usar a mesma conta pra ir juntando uma certa quantidade de grana por mês em um fundo de investimento até dar um certo valor desejado, por exemplo. Um dia eu chego lá... Fica como exercício par ao leitor. ;)

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