O colar de pérolas negras

Já que todos dizem que é legal fazer "divulgação científica", e como todo problema de matemática tem que ter uma historinha pra acompanhar, pra ser divertido, aqui vai o tenebroso...

PROBLEMA DO COLAR DAS PÉROLAS NEGRAS

Na ilha de Lesbos, na Grécia antiga, havia uma matemática chamada Sapro. Ao completar 16 anos, Sapro jurou que se casaria apenas com um homem capaz de resolver um problema matemático proposto por ela.

Sapro pegou uma linha, e colocou nela três pérolas: uma preta e duas brancas, e amarrou a linha formando um colar (sim, um colar meio feio, com a linha aparecendo...)

A cada ano de vida, Sapro pegava outra linha, desamarrava o colar, e fazia outro maior, colocando pedras no novo colocar de acrodo com cada pedra do colar antigo, como ao rezar um terço bizantino. As pedras devem ser colocadas da seguinte forma:

Para cada pérola negra encontrada, passe ela para o novo colar, e substitua a pedra seguinte por uma hematita e uma pérola branca (a branca se torna a primeira pedra do colar velho).

Cada pedra branca encontrada é passada imediatamente para o novo colar.

Para cada hematita, colocar uma pedra branca no colar novo, e substituir a pedra seguinte no colar antigo por uma pérola negra.

Note que pode acontecer da última pedra do colar antigo ser uma pérola negra ou uma hematita, o que requer uma substituição da pedra seguinte. Nesse caso a substituição deve ser feita nas primeiras pedras do colar novo (que são são as "seguintes" ao se fechar o colar).

Sapro propôs então: "Só hei de me casar com um homem, se um dia aparecer um que me presenteie com um fórmula algébrica para o número de pedras de meu colar para cada ano de minha vida!..."

Aos 16 anos, portanto, seu colar tinha 3 pedras. Aos 17, 5 pedras, sendo uma delas uma hematita grande, que servia de pingente. Aos 18 anos, seu colar adquiriu 7 pedras. É dito que neste ano Teseu pretendeu desposar de Sapro, dizendo que o colar adquiriria a cada ano os sucessivos números ímpares, e preveu 9 contas para quando a jovem matemática atingisse 19 anos.

Ele ficou desapontado, entretanto, ao ver que quando completou 19 anos, Sapro reformulou seu colar e este adquiriu 10 contas ao invés de 9.

O matemático Hipparcus previu que o colar eventualmente cresceria com uma fórmula exponencial, com um ruído alternativamente negativo e positivo. Isto foi verdade dos 27 aos 32 anos, mas aos 33 a sua fórmula deu um ruído positivo, repetindo o anterior. A fórmula de Hipparcus foi

(73/40) * (3/2)^(n-15) .

Sapro morreu neste mesmo ano, no cerco de Corinto em 146 AC, a caminho do -XXVIII congresso de matemática pura e aplicada de Siracusa.



A configuração de todos os colares de Sapro a partir dos seus 16 anos, o número de contas, e a configuração das pedras está abaixo. ('F' são as pérolas negras, 'o' as brancas e 'G' a hematita)

   3: Foo
   5: oGooF
   7: oGoFooF
  10: oGoFooFooF
  14: FoFooFooFooFoo
  21: FooFooFooFooFooFooFoo
  32: oGooFooFooFooFooFooFooFooFooFooF
  47: FoFooFooFooFooFooFooFooFooFooFooFooFooFooFooFoo
  47:   Fo( 15 Foo)
  71: oGoo( 22 Foo)F
 106:  oGo( 34 Foo)F
 158:   Fo( 52 Foo)
 237:     ( 79 Foo)
 356: oGoo( 87 Foo)F
 533:   Fo(177 Foo)
 800: oGoo(265 Foo)F
1199:   Fo(399 Foo)
1799: oGoo(598 Foo)F
2698:  oGo(898 Foo)F

Quem resolver esse problema não poderá mais desposar da fictícia e falecida Lesbiana, mas eu dou 5 reais pra quem me achar uma relação de recursão pra essas séries, e 10 pra quem achar uma fórmula algébrica fechada!... (se é que existe!)

Eu acho que deve rolar uma coisa tipo T <- (T%n==0)?T*k0:(T%n==1)?T*k1:(T%n==2)T*k2...